Sulla irrazionalità delle radici quadrate dei numeri naturali non quadrati.

·Biagio

Sia d un numero e n \in {\mathbb{N}^ + } tale che:

{n^2} < d < {\left( {n + 1} \right)^2}


ovvero:

n < \sqrt d < \left( {n + 1} \right)

e quindi:

0< \sqrt{d}-n<1

Per assurdo, sia

\sqrt d = \frac{p}{q}{\text{ con }}p,q \in {\mathbb{N}^ + }

Più precisamente, assumeremo che q sia il minimo dei possibili denominatori per queste espressioni razionali di \sqrt d e quindi assumiamo che sia il minimo q tale che q \sqrt{d}=p \in \mathbb{N}^{+}.

Quindi:

\left( {\sqrt d - n} \right)q\sqrt d = qd - nq\sqrt d \in {\mathbb{N}^ + }

e pertanto, essendo \sqrt{d}-n<1 dev’essere:

\left( {\sqrt d - n} \right)q < q

contro il fatto che, per ipotesi, q è il minimo dei possibili denominatori per la rappresentazione razionale di \sqrt d.

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