Sulla irrazionalità delle radici quadrate dei numeri naturali non quadrati.

Sia \(d\) un numero e \(n \in {\mathbb{N}^ + }\) tale che:

\({n^2} < d < {\left( {n + 1} \right)^2}\)

ovvero:

\(n < \sqrt d < \left( {n + 1} \right)\)

e quindi:

\(0< \sqrt{d}-n<1\)

Per assurdo, sia

\(\sqrt d = \frac{p}{q}{\text{ con }}p,q \in {\mathbb{N}^ + }\)

Più precisamente, assumeremo che \(q\) sia il minimo dei possibili denominatori per queste espressioni razionali di \(\sqrt d\) e quindi assumiamo che sia il minimo \(q\) tale che \(q \sqrt{d}=p \in \mathbb{N}^{+}\).

Quindi:

\(\left( {\sqrt d – n} \right)q\sqrt d = qd – nq\sqrt d \in {\mathbb{N}^ + }\)

e pertanto, essendo \(\sqrt{d}-n<1\) dev’essere:

\(\left( {\sqrt d – n} \right)q < q\)

contro il fatto che, per ipotesi, \(q\) è il minimo dei possibili denominatori per la rappresentazione razionale di \(\sqrt d\).