il pendolo semplice…

Si chiama pendolo semplice un punto materiale di massa m appeso tramite un filo inestensibile, di lunghezza \(\ell\) e massa trascurabile, a un punto O.
Dal momento in cui il pendolo viene spostato dalla sua verticale e quindi lasciato, esso inizierà un moto oscillatorio che, in caso di smorzamento trascurabile, proseguirà identico fino ad una nuova interazione con l’ambiente.

Volendo ricavare il periodo delle oscillazioni possiamo scrivere le equazioni di Newton per la massa in direzione centripeta e tangenziale:

Notando che il moto è circolare, per l’accelerazione centripeta \(\left(a_{c}=l \dot{\theta}^{2}\right) \) e l’accelerazione tangenziale \(\left(a_{t}=l \ddot{\theta}\right)\), dalla seconda equazione si ha:

che è l’equazione differenziale da cui si ottiene l’elongazione angolare istantanea del pendolo rispetto alla verticale.

Poiché la funzione cercata è argomento di una funzione trascendente, questa è una
equazione differenziale ordinaria non-lineare del secondo ordine.

In questo caso specifico esiste una complessa espressione analitica per il periodo (grazie al fatto che, per una data condizione iniziale, esso è una costante del moto), ma in generale, la soluzione numerica è l’unica strada possibile in simili casi.

Facciamo nostra l’approssimazione armonica, o di piccole oscillazioni:

Questa approssimazione è discretamente robusta: l’errore sulla forza per \(\theta = 0.1\text{rad}=57^o\) è circa 0.02%, e per un elongazione massima tripla (quindi oltre \(15^o\)) circa 0.5%.

L’equazione diventa:

che si riconosce essere l’equazione di un oscillatore armonico di frequenza \(\omega = \sqrt{g/l}\) e di periodo

Nel caso armonico, la frequenza, e con essa il periodo, non dipende dall’elongazione iniziale.

Calcolando il periodo da questa formula esatta (nell’approssimazione armonica) incorriamo inevitabilmente in vari errori. Oltre alle incertezze su \(g\) e \(\ell\), dobbiamo rappresentare il numero irrazionale \(\pi\) con un numero (ovviamente) finito di cifre, calcolare la radice quadrata, e moltiplicare i vari fattori. Ognuna di queste operazioni genera e propaga errori, schematizzabili come dovuti a:

• dati: incertezze sul valore o misura degli eventuali parametri e dei dati di input;
• rappresentazione: i numeri sono rappresentati con una precisione finita;
• aritmetica : errori dovuti all’implementazione approssimata delle operazioni

e noti genericamente come errori di round-off o di rappresentazione. In aggiunta, abbiamo errori di approssimazione, generati cioè dalle approssimazioni del modello fisico (quella armonica, ad esempio, fatta prima). Infine, molto importanti, ci sono gli errori algoritmici, che originano dalla maniera in cui scegliamo di approssimare le operazioni di alto livello nel nostro algoritmo di simulazione.