Calcolo di un Integrale Usando il Metodo della Quadratura del Punto Medio in Python

Il metodo della quadratura del punto medio, noto anche come regola del rettangolo, è una tecnica numerica semplice e diretta per approssimare l’integrale definito di una funzione. In questa tecnica, l’area sotto la curva della funzione viene approssimata da una serie di rettangoli di larghezza uniforme. L’area totale di questi rettangoli è poi utilizzata come approssimazione dell’integrale.

L’Integrale e la Quadratura del Punto Medio

Data una funzione f(x) e un intervallo [a, b], l’integrale definito di f(x) da a a b può essere interpretato geometricamente come l’area sotto la curva della funzione tra a e b. Se la funzione è positiva, questa area si trova tra la curva e l’asse delle x.

Il metodo della quadratura del punto medio approssima questa area dividendo l’intervallo [a, b] in M sottointervalli di uguale larghezza h = (b-a)/M, poi per ognuno di questi sottointervalli, calcola l’area del rettangolo che ha per base il sottointervallo e per altezza il valore della funzione nel punto medio del sottointervallo. La somma di queste aree è l’approssimazione dell’integrale.

Implementazione in Python

In Python, possiamo implementare il metodo della quadratura del punto medio con una funzione come la seguente:

def midpoint_rule(func, a, b, M):
    h = (b-a)/M
    xi = np.linspace(a, b, M+1)
    midpoints = (xi[:-1] + xi[1:]) / 2
    return h * np.sum(func(midpoints))

In questa funzione, func è la funzione da integrare, a e b sono i limiti di integrazione, e M è il numero di sottointervalli (o rettangoli) da utilizzare. La funzione np.linspace(a, b, M+1) genera M+1 punti equidistanti tra a e b, inclusi a e b. Questi punti rappresentano i bordi dei sottointervalli. I punti medi dei sottointervalli sono calcolati come la media tra i punti adiacenti, quindi applicando la funzione a questi punti medi, moltiplicando per h, e sommando i risultati otteniamo l’approssimazione dell’integrale.

Visualizzazione Grafica

Per comprendere meglio il metodo della quadratura del punto medio, può essere utile visualizzarlo graficamente. Possiamo farlo creando un grafico con matplotlib che mostra sia la curva della funzione che i rettangoli utilizzati per l’approssimazione dell’integrale.

xi = np.linspace(145, 150, M+1)
midpoints = (xi[:-1] + xi[1:]) / 2
h = (150 - 145) / M
axs[i].plot(x, f(x), 'b')
axs[i].bar(midpoints, f

(midpoints), width=h, alpha=0.5, align='center', color='red')

Il metodo della quadratura del punto medio è un modo semplice e diretto per approssimare l’integrale di una funzione. Anche se non è il metodo più preciso disponibile, la sua semplicità lo rende utile per una serie di applicazioni. In Python, grazie alla potenza di librerie come NumPy e matplotlib, possiamo non solo calcolare approssimazioni di integrali con il metodo della quadratura del punto medio, ma anche visualizzare facilmente i risultati.