C’è un momento, davanti a una dimostrazione, in cui i passaggi sono tutti leggibili e tuttavia qualcosa ci sfugge. Sappiamo seguire il ragionamento, riconosciamo le regole, arriviamo alla conclusione. Eppure dobbiamo tornare indietro. Ci manca l’idea che tiene insieme le righe, quella che, una volta afferrata, ci farà pensare: come ho fatto a non vederla prima?
La riflessione di Terence Tao sull’intelligenza artificiale riguarda anche questa distanza. Se la produzione di dimostrazioni accelera, diventa essenziale il lavoro attraverso il quale una comunità le comprende, ne riconosce i metodi e le incorpora nel proprio sapere. Il numero dei problemi risolti, da solo, racconta soltanto una parte del progresso matematico.
Una dimostrazione corretta conserva la propria validità anche quando ci riesce difficile comprenderla. La verità matematica non aspetta il nostro consenso. Ma per servirci di quella dimostrazione abbiamo bisogno di entrarci: distinguere il passaggio decisivo dai dettagli tecnici, vedere dove intervengono le ipotesi, domandarci che cosa accadrebbe cambiandone una. Comprendere significa anche acquistare la libertà di modificare una domanda.
Prendiamo una cosa piccola. La somma dei primi numeri dispari restituisce, ogni volta, un quadrato perfetto: uno, quattro, nove, sedici. Possiamo verificarlo con qualche addizione. Poi disegniamo un quadrato di punti e gli aggiungiamo una cornice a forma di elle: tre punti, poi cinque, poi sette. A ogni aggiunta il quadrato cresce di un lato. L’aritmetica ha trovato una forma; la geometria ci ha spiegato una somma.
È accaduto qualcosa anche a noi. Ora possediamo un collegamento, un modo di guardare che potremo tentare altrove.
Quando diciamo che la matematica allena all’astrazione, dovremmo pensare a questa capacità. Riconoscere una relazione attraverso le forme diverse in cui si presenta. Capire quali caratteristiche contano e quali possiamo lasciare da parte. Un triangolo disegnato male conserva le proprietà che stiamo studiando; un disegno perfetto può suggerirci qualcosa che le ipotesi non garantiscono. Bisogna imparare a vedere oltre la figura, e insieme a sorvegliare ciò che crediamo di aver visto.
È un esercizio di immaginazione sottoposto alla disciplina delle ragioni.
Per questo, a scuola, il tempo trascorso su una dimostrazione ha un valore che il risultato finale non riesce a registrare. Dentro un tentativo fallito può esserci la scoperta di un’ipotesi necessaria. Un controesempio può insegnare a usare con maggiore cautela la parola «sempre». Una domanda apparentemente ingenua può rivelare il punto che tutti avevano imparato a ripetere senza averlo davvero chiarito.
La fatica, naturalmente, non è una virtù in sé. Una spiegazione limpida può risparmiarci ore sterili. Anche l’intelligenza artificiale può aiutarci: proporre un esempio, confrontare due argomenti, rendere visibile una connessione. Il suo valore educativo si misura in ciò che diventiamo capaci di fare dopo averla usata: ricostruire un ragionamento, discuterne i limiti, affrontare un caso diverso.
Avere una risposta disponibile cambia il lavoro dell’insegnante e dello studente. Rende ancora più prezioso quel «perché?» che interrompe la lezione, rallenta il programma e qualche volta obbliga tutti, professore compreso, a ricominciare.
Immagino che avremo dimostrazioni sempre più numerose, forse più numerose del tempo che sapremo dedicarvi. Dovremo scegliere, spiegare, tornare sui passaggi. Conservare luoghi in cui sia possibile fermarsi davanti a una riga e ammettere che ancora non ci è chiara.
La matematica vive anche in quella pausa. Nel momento in cui la conclusione è già scritta e qualcuno, finalmente, comincia a capire.